【NOIP2013提高组 火柴排队】

题目背景

NOIP2013 提高组 Day1 试题

题目描述

涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为:

 

其中 ai 表示第一列火柴中第 i个火柴的高度,bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入格式

共三行,第一行包含一个整数 n,表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第二列火柴的高度。

输出格式

输出共一行,包含一个整数,表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

样例数据 1

输入

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出

1

样例数据 2

输入

4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出

2

备注

【样例1说明】
最小距离是 0,最少需要交换 1 次,比如:交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【样例2说明】
最小距离是 10,最少需要交换 2 次,比如:交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置,再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】
对于 10% 的数据, 1≤n≤10;
对于 30% 的数据,1≤n≤100;
对于 60% 的数据,1≤n≤1,000;
对于 100% 的数据,1≤n≤100,000 ;0≤火柴高度≤231-1

贪心+逆序对。分析如下:

对距离公式化简得:

∑(ai-bi)2=∑(ai2-2aibi+bi2)=∑ai2+∑bi2-2∑aibi,要求∑(ai-bi)2最小,就只需要∑aibi最大即可。这里有个贪心,当 a1<a2<…<an ,b1<b2<…<bn时,∑aibi最大。

证明如下:

若存在a>b,c>d,且ac+bd<ad+bc,则a(c-d)<b(c-d),则a<b,与a>b矛盾,所以若a>b,c>d,则ac+bd>ad+bc
将此式子进行推广:
当a1<a2<a3<…<an ,b1<b2<…<bn的情况下∑aibi最大,即∑(ai-bi)2最小。

然后,将两个序列分别排序,确定每对数的对应关系,明显,同时移动两个序列中的数等效于只移动一个序列中的数,移动的时候可以将一个火柴序列不动,只移动另外一个序列。

于是可以构造一个数组C,C[i]表示最初的第i个数应该移动到C[i]位置。于是问题转换成对C[i]数组排序,每次可以交换相邻两个数,问最少需要移动多少次的问题了,也就是求这个序列的逆序对数量的问题(这里用归并排序思想实现)。

下面是代码:

stdKonjac

stdKonjac

一只挣扎的蒟蒻ACMer

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